A_D判别法

A-D 判别法(充分必要性)

1. 适用 针对诸如$\sum a_nb_n$级数

1 基础变换: Abel变换(分部求和法)

1. 内容:
   $\displaystyle\sum^{n+p}_{k=n} a_nb_n = A_{n+p}b_{n+p} - A_{n-1}b_n - \sum^{n+p-1}_{k=n}A_k(b_{k-1} - b_k)$ (1.1)

   其中$A_n$为$a_n$部分和

2. 类比: 分部积分法^[1]

   • 内容:
     $\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$
   • 类比原则:
     分部积分的离散版本
     $define \ \Delta a_n = a_{n+1} - a_n, \ \sum b_n = B_n$
     $\displaystyle\sum^{n-1}B_i\Delta a_i = a_nB_n - \sum^{n}a_i\Delta B_{i-1}$ (1.2)

3. 应用:
   Abel变换的(1.1)形式的左项为有限项的部分和，可以考虑在柯西收敛准则中使用

1 Dirichlet判别法

1. 内容:

   • 数项级数
     $A_n$有界， $b_n$单调趋于0

   • 无穷积分
     $\int f(x)dx$有界，$g(x)$单调且趋于0

2. 证明:

   1. 依据:
      由Abel变换法而来，运用柯西收敛准则; 右项又有界量M与无穷小量f{bn}处理得到 $\epsilon$
   2. 步骤:
      • $|\displaystyle\sum^{n+p}_{k=n}a_kb_k| \le M|b_{n+p}-b_n-\sum^{n+p-1}_{k=n}b_{k}-b_{k-1}| = 2Mb_n$
      • $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = 0$

2 Abel判别法

1. 内容:

   • 数项级数:
     $\sum a_n$收敛且$b_n$单调有界, 则$\sum a_nb_n $收敛

   • 无穷积分:
     $\intop^{+\infty}_a f(x)dx$ 收敛且 $g(x)$ 在 $[a, +\infty]$ 单调有界

2. 证明:

   1. 依据:
      • Abel判别法为Dirichlet判别法的特例
   2. 证明:
      • $\sum a_nb_n = b\sum a_n - \sum a_n(b-b_n)$ ^[2]
        其中$b = \lim\limits_{n \to \infty}b_n$
      • $\sum a_n(b-b_n)$由Dirichlet判别法可得收敛
      • 收敛-收敛依然收敛

3 小结

1. A-D判别法的证明基础可以是Abel变换，而Abel变换又可以看作是分部积分法的离散形式
2. A-D判别法同样适用于离散的级数与连续的无穷积分
3. 积分与级数的联系进一步加深

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1. 证明过程为微分的乘积法则: $dxy = xdy + ydx \implies \int xdy = xy - \int ydx$ ↩︎

2. 由分配律可得恒等变换，构造的原因是构造出Dirichlet适用式$\sum a_n(b - b_n)$ ↩︎