函数项级数

定义:

无穷多个函数的’和’ $\sum u_n(x)$

相关概念:

1. 收敛点:
   对$x_0 \in E,$ 使得 $\sum u_n(x_0)$收敛，则称$x_0$为收敛点^[1]

2. 收敛域:
   函数项级数$\sum u_n(x)$的所有收敛点构成的集合, 记为 $D$

3. 和函数:
   由2所得定义 $S(x) = \sum u_n(x), \ x \in D$^[2]

4. 逐点收敛
   由逐点定义所得到的和函数，则称$\sum u_n(x)$ 在 $D$上 逐点收敛于$S(x)$

   • 为什么要在D上:
     • 因为不在D的x不为收敛点，退化的常数项级数不收敛.
   • 为什么收敛于一个函数:
     • 因为函数项的元素为函数，所以收敛于一个函数
   • 什么叫由逐点定义:
     • 可能因为这样的函数是一个一个离散x与对应的常数项级数所构成的，我猜是离散的原因。

5. 部分和函数:

   • 定义: $S_n(x), x \in D$
   • 特征:
     • 依然基于区间$D$上
     • $\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x) = S(x)$， 即部分和函数列[^部分和函数列]的敛散性与函数项级数相同

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1. 函数列退化为常数列 ↩︎

2. 由收敛域及其收敛点所产生的常数项级数形成的集合构成的一个映射，即 $f : D \to A, \ A = \{ \sum u_n(x_i)\}$ ↩︎