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绝对收敛与条件收敛

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绝对收敛与条件收敛

1 收敛比较法

  1. 绝对收敛则原级数一定收敛
    • 证明采用柯西收敛准则
    • 内容:∑k=n+1n+pak<∑k=n+1n+p∣ak∣<ϵ\displaystyle\sum{k=n+1}^{n+p}a_k < \displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}|a_k| < \epsilon
    • 与比较判别法相比
      • 绝对收敛后成为同号级数，可以用比较判别法判定绝对值的收敛性
      • 比较判别法:
        若an<bna_n < b_n, bnb_n收敛，那么ana_n收敛
        • 依据: 同项级数的单调有界收敛法则

2 正部与负部的引入

2.1 概念

  1. an+=∣an∣+an2a_n^+ = \frac{|a_n|+a_n}{2}, an−=∣an∣−an2a_n^- = \frac{|a_n|-a_n}{2}

2.2 含义

  1. 正部包含数列所有的正项，即正部是数列正项子列的通项
  2. 负部包含所有的负项，但其值为负项的绝对值
  3. 正部与负部均为正数

2.3 绝对收敛与正负部

  1. ∑k=n+1n+p∣ak∣=an++an−\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}|a_k| = a_n^+ + a_n^- 意为绝对收敛包含了所有正项与负项的值，其部分和更加大

  2. ∑k=n+1n+pak=an+−an−\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k = a_n^+ - a_n^- 意为将负部变为真实的负项值而相溶，其部分和更小

  3. 正部与负部由一个简明的表达式将变号级数变成了两同号级数，实质为数列的两子列

2.4 性质

  1. ∑an\sum a_n 绝对收敛，则∑an+,∑an−\sum a_n^+, \sum a_n^-均收敛。

    • 证明:
      1. ∑∣an∣\sum |a_n|的部分和 > ∑an+,∑an−\sum a_n^+, \sum a_n^-，且均为正
      2. 根据比较判别法得出结论

  2. ∑an\sum a_n 条件收敛， 则∑an+,∑an−\sum a_n^+, \sum a_n^-均发散至+∞+\infty

    • 证明:
      1. 依据: 级数收敛的线性法则[1]
      2. 反证法:
        • 若负部收敛于S，则根据1，正部必收敛于S1 + S，即∑∣an∣\sum |a_n|必收敛于S1 + 2S，即绝对收敛
        • 与条件收敛矛盾

2.5 应用

2.5.1 绝对收敛重排（可交换性）

  1. 如果∑an\sum a_n绝对收敛，那么它的任意重排∑a~\sum \tilde{a}也绝对收敛，且和相等

  2. 意义:

    • 有限项的和满足结合律，而无限项的和不一定满足结合律[2]
    • 数项级数可以在收敛的情况下满足一定的结合律[3]
    • 有限项满足交换律，无限项的和不一定满足交换律
    • 任意重排即说明绝对收敛(正项数列)的交换律性质

  3. 证明:

    1. 证明重排绝对收敛, 且绝对收敛和相等:

      1. 依据:正项级数的比较判别法，子列的性质，等于证明法[4]

      2. 步骤:

        • 以取子列方式取有限重排[5]得到重排 ∑Kai~\displaystyle\sum^K \tilde{a_i}

        • 以取顺序子列的方式取得数列
          ∑Nan\displaystyle\sum^N a_n[6], N为max{nin_i}

        • 比较判别法得到
          ∑Kai~<∑Nam<∑∞∣an∣<M\displaystyle\sum^K \tilde{a_i} < \sum^N a_m < \sum^\infty|a_n| < M

        • 即可得 S~≤S\tilde{S} \le S, 又∑an\sum a_n为∑an~\sum \tilde{a_n}的重排, 所以 S~≥S\tilde{S} \ge S, 即 S~=S\tilde{S} = S

    2. 证明和相等:

      1. 依据:
        • 证明1的实质为证明了该定理在正项收敛级数的成立性。
        • 则将该数列分化成两个正项数列的差来尝试证明(绝对收敛保证了正部与负部的收敛性)
      2. 步骤:

        • 转换数列与重排数列至两正项数列之和
          $\sum a_n = \sum a_n^+ + \sum a_n^- \sum \tilde{a_n} = \sum \tilde{a_n^+} + \sum {a_n^-} $

        • 利用证明1得到等式关系∑an=S++S−=∑an~\sum a_n = S^+ + S^- = \sum \tilde{a_n} 得证

2.5.2 条件收敛重排

  1. 参考笔记, 简而言之，收敛+收敛 = 收敛， 发散+收敛 = 发散; 减号不一定成立 ↩︎

  2. 如∑(−1)n\sum (-1)^n发散，但结合后∑(−1+1)\sum (-1+1)则收敛 ↩︎

  3. 若∑an\sum a_n收敛，则不改变各项次序任意加入括号得到的新级数仍然收敛，且和不变(充分条件) ↩︎

  4. 一种证明法即为通过夹逼法来证明，即若 a≥b,a≤ba \ge b, a \le b 那么 a=ba = b ↩︎

  5. 取子列往往通过 新数列 = 旧数列{下标数列}的方式进行取得，即
    a~i=bni\tilde a_i = b_{n_i}，取得方式由数列nin_i呈现 ↩︎

  6. 取顺序子列常用在以有限取无限上，即取无限数列ana_n的前n项 ↩︎